Pivot de gauss exemple matrice

Le théorème suivant énonce les conditions suffisantes pour l`existence et l`unicité des solutions d`un système linéaire. Il est pratique courante d`implémenter (III) en remplaçant une ligne par la différence de cette ligne et un multiple d`une autre rangée. Théorème (élimination gaussienne avec remplacement du dos). La matrice est non singulière (i. En outre, le pivot d`une ligne doit apparaître à droite du pivot dans la ligne ci-dessus sous forme d`échelon de ligne. Au début de la procédure, nous calculons les facteurs d`échelle pour chaque ligne de la matrice comme suit: pour. Si, localisez la première rangée au-dessous de p dans laquelle et puis changez les rangées k et p. Dans cette approche, l`algorithme sélectionne comme élément pivot l`entrée la plus grande par rapport aux entrées de sa ligne. Si, ne changez pas de lignes. Élimination gaussienne, algorithme simplex, etc. Compte tenu de ce système, l`algorithme d`élimination et la substitution rétrograde en utilisant l`arithmétique à quatre chiffres donnent les valeurs correctes x1 = 10. Les exemples suivants illustrent cette situation.

Les instructions suivantes sont équivalentes. Remplacement: la rangée r peut être remplacée par la somme de cette remorque et d`un multiple différent de zéro de toute autre rangée; C`est:. Les opérations suivantes appliquées à la matrice augmentée génèrent un système linéaire équivalent. Théorème (solutions uniques) Supposons que c`est une matrice. Sans l`échange de lignes dans ce cas, les erreurs d`arrondi sont propagées comme dans l`exemple précédent. Cette stratégie est souhaitable lorsque les grandes différences de magnitude des entrées conduisent à la propagation de l`erreur d`arrondi. Le pivotement complet intermodifie les lignes et les colonnes afin d`utiliser l`élément le plus grand (par valeur absolue) dans la matrice comme pivot. L`exemple suivant illustre comment l`utilisation de la stratégie de pivotage trivial dans l`élimination gaussienne peut conduire à une erreur significative dans la solution d`un système linéaire d`équations.

Le pivotage complet n`est généralement pas nécessaire pour assurer la stabilité numérique et, en raison du coût additionnel de la recherche de l`élément maximal, l`amélioration de la stabilité numérique qu`il fournit est généralement compensée par sa réduction de l`efficacité pour tous, mais le matrices les plus petites. Pivoting pour réduire l`erreur étant donné que l`ordinateur utilise l`arithmétique de précision fixe, il est possible qu`une petite erreur soit introduite chaque fois qu`une opération arithmétique est effectuée. Le pivotage peut être considéré comme un échange ou un tri de lignes ou de colonnes dans une matrice, et il peut donc être représenté comme une multiplication par des matrices de permutation. Pivoting total. La première idée qui vient à l`esprit est la suivante. Il existe un système unique qui est équivalent au système donné, où est une matrice triangulaire supérieure avec pour. Le système ci-dessous nécessite l`échange des lignes 2 et 3 pour effectuer l`élimination. D`autres fois ces opérations supplémentaires valent la peine parce qu`elles ajoutent la stabilité numérique au résultat final. Définition (élément pivot).

Ces opérations supplémentaires sont parfois nécessaires pour que l`algorithme fonctionne du tout. Les permutations de ligne et de colonne sont permises. Remarque. La stratégie de pivotage trivial est la suivante. Exécutez les cellules de ce groupe pour activer les sous-routines. Étant donné que la division par zéro est une erreur fatale, nous évitons habituellement cette stratégie de pivotage. Supposons qu`il s`agit d`une matrice non singulière. Pas de pivotage, aucun interchangement de ligne. Seules les permutations de ligne sont permises. Les facteurs d`échelle sont interchangés avec leur ligne correspondante dans les étapes d`élimination.

Le déterminant est différent de zéro, i. Cet article incorpore du matériel de pivoting sur PlanetMath, qui est sous licence Creative Commons Paternité/Partage de licence. Les variables sont des espaces réservés pour les coefficients et la came doit être omise jusqu`à la fin du calcul. Dans l`exemple ci-dessous, il serait souhaitable d`échanger les deux lignes car l`élément pivot actuel 30 est supérieur à 5.

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